The Very Best of Atari Inside

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Text File | 1989-04-05 | 62.5 KB | 2,377 lines

Anleitung zum Gebrauch des Programms RCL =========================================== Inhaltsverzeichnis ------------------ I Urheberrecht II Gerätekonfiguration III Kurzbeschreibung IV Ein kleiner Vorgeschmack V Befehlsfolge erstellen für Zweipole VI Befehlsfolge für einen Spannungsteiler VII Befehlsfolge für zwei aufeinander folgende Spannungsteiler VIII Beliebig viele aufeinander folgende Spannungsteiler IX Kurzlehrgang über komplexe Zahlen X Anwendung komplexer Zahlen in der Elektrotechnik XI Anmerkungen zu den Beispielen XII Verbesserungen und Erweiterungen I Urheberrecht -------------------- Dieses Programm wurde geschrieben von DK2ZA und ist Allgemeineigentum. Jeder darf es kopieren, weitergeben, verändern, Teile davon in anderen Programmen verwenden, ja es ist sogar erlaubt, das Programm wieder zu löschen ! Alle sind eingeladen, Verbesserungen und Erweiterungen vorzunehmen. Vergeßt aber bitte nicht, diese in Kapitel XII und im Quelltext RCL.LST zu dokumentieren, ehe ihr euer Werk weitergebt ! Umfassender Haftungsausschluß ( Disclaimer ). Niemand übernimmt irgendeine Haftung für Schäden, die durch das Programm in welcher Weise auch immer, direkt oder indirekt, entstehen. Es gibt keine Garantie für die Korrektheit der berechneten Ergebnisse, ja noch nicht einmal dafür, daß sich das Programm überhaupt für irgendeinen Zweck eignet. II Gerätekonfiguration ---------------------------- RCL wurde auf einem Atari 1040 STF mit SM 124 und TOS 1.04 entwickelt. Es ist in GFA - Basic Version 3.5E D geschrieben und kompiliert. Das Programm verwendet keine Fenster oder Menüleisten, auch die beiden großen Dialogboxen und sogar die Alarmboxen sind selbstgebastelt. Aus diesen Gründen - und noch einigen anderen, die im GFA - Basic stecken - dürfte es auf Gerätekombinationen, die von der obigen erheblich abweichen, nicht ohne größere Änderungen laufen. Damit furchtlose Programmiererinnen, die über viel Zeit verfügen, entsprechende Eingriffe vornehmen können, befindet sich der Programmtext auch als ASCII-Datei RCL.LST auf der Diskette. III Kurzbeschreibung -------------------------- Mit dem Programm RCL kann man das Verhalten bestimmter Schaltungen untersuchen, die nur aus Widerständen ( R ), Kondensatoren ( C ) und Spulen ( L ) bestehen. Diese Schaltungen sind: 1. Zweipole ( Schaltungen mit zwei Anschlüssen ), die durch Serien - und Parallelschaltungen von R, C und L entstanden sind. Das Programm berechnet den komplexen Widerstand Z eines solchen Zweipols für viele Frequenzen in einem vorgebbaren Frequenzabschnitt und stellt den Betrag von Z ( den sog. Scheinwiderstand ) und/oder den Phasenwinkel als Funktion der Frequenz graphisch dar. 2. Spannungsteiler, die aus zwei solchen Zweipolen zusammengesetzt sind. Das Programm berechnet die Ausgangsspannung des Spannungsteilers nach Betrag und Phase als Funktion der Frequenz und stellt diesen Zusammen- hang graphisch dar. Die Eingangsspannung des Teilers wird dabei mit 1V angenommen. 3. Schaltungen, bei denen der Ausgang eines Spannungsteilers mit dem Eingang eines weiteren verbunden ist, dessen Ausgang wiederum auf den Eingang des nächsten führt usw. Das Programm berechnet in diesem Fall Betrag und Phase der Ausgangs- spannung des letzten Teilers als Funktion der Frequenz und stellt sie graphisch dar. Dabei wird die Eingangsspannung des ersten Spannungsteilers zu 1V angenommen. Auf diese Weise werden viele der üblichen Schaltungen erfaßt: Schwingkreise mit Belastung und kapazitiver Anzapfung. Tiefpässe und Hochpässe, auch wenn sie Serien - und Parallelschwingkreise enthalten. Anpaßschaltungen mit L -, Pi - und T - Aufbau. Wien - Glieder. Nicht berechenbar sind z.B.: Brückenschaltungen; überbrückte T - Glieder; Doppel - T - Glieder; angezapfte Spulen; Schaltungen, deren Spulen magnetisch gekoppelt sind, insbesondere Transformatoren. Die eingegebenen Schaltungen und Bauteilewerte können getrennt auf Diskette gespeichert und wieder geladen werden. Die erzeugten Grafiken lassen sich speichern, laden und auf einem NEC P6 ( 24 Nadeln ) in drei Größen drucken. Es stehen zahlreiche Hilfstexte zur Verfügung. IV Ein kleiner Vorgeschmack --------------------------------- Programm RCL.PRG starten. Wir sehen Dialogbox 1. Mit den 4 Cursortasten spielen. Gelegentlich Taste <Help> tippen. Nun ein Beispiel: ----------------- Cursor auf "Befehlsfolge laden" setzen und <Return>. Im Ordner BEISPIEL die Datei PARSKREI.BEF auswählen und laden. Cursor geht von selbst eins runter auf "Bauteile laden". Es genügt zweimal <Return>. PARSKREI.BAU wird geladen. Abb. 1: PARSKREI.BEF beschreibt die Schaltung eines Parallelschwingkreises mit Dämpfungswiderstand. Beispiel für einen Zweipol. Mit <F1> zu Dialogbox 2 wechseln. Cursortasten und <Help> ausprobieren. Die Befehlsfolge beschreibt einen Parallelschwingkreis mit Widerstand in Serie zur Spule. Taste <F10> startet die Berechnung. Wenn sie beendet ist, eine beliebige Taste drücken und dann <Return>. Kurve anschauen mit <F5>. Sie stellt den Scheinwiderstand des Schwingkreises als Funktion der Frequenz dar. Maus bewegen. <Help> tippen. Kreuzchen dienen nur für den Fall, daß das Bild später gedruckt werden soll und bestimmte Stellen zu markieren sind. Maus in halber Höhe auf linke Flanke der Kurve. Rechte Maustaste drücken. Frequenzanzeige jetzt: 0 Hz. Maus in gleicher Höhe auf rechte Flanke. Frequenzanzeige: 826,3 kHz. Dies ist die 6dB - Breite der Kurve. Mit <F5> und <F1> zurück zu Dialogbox 1. Dort Cursor auf das "ja" bei "Phasenwinkel darstellen" und <Return>. Wieder <F10>, zweimal <Return> und <F5>. Man sieht, daß bei sehr kleiner Frequenz Strom und Spannung in Phase sind ( Phasenwinkel Null ). Dann verhält sich der Schwingkreis bis zur Resonanzfrequenz induktiv ( Phasenwinkel positiv, die Spannung eilt dem Strom voraus ). Bei Resonanz ist die Phasenverschiebung wieder Null; man beachte aber, daß beim gedämpften Schwingkreis an dieser Stelle der Scheinwiderstand nicht maximal ist ! Schließlich verhält sich der Schwingkreis mehr und mehr wie ein Kondensator, bei dem die Spannung dem Strom um 90 Grad nachläuft. Taste <F5> bringt uns wieder zur Dialogbox 1. Zweites Beispiel: ----------------- Altes Bild löschen mit <F3> und <j>, dann wieder "Befehlsfolge laden". Diesmal die Datei ZWEIKREI.BEF. Dann die Bauteile dazu: ZWEIKREI.BAU. Abb. 2: ZWEIKREI.BEF beschreibt die Schaltung zweier gekoppelter Schwingkreise. Beispiel für mehrfachen Spannungsteiler. <F10> zeichnet das Diagramm. Wir sehen die Durchlaßkurve eines kritisch gekoppelten ( das erkennt man an dem flachen Dach ! ) zweikreisigen Bandfilters. Bild mit 2 x <Return> übernehmen ! Sehen wir uns mit <F1> Befehlsfolge und Bauteile an: Die 34 Befehle bleiben einstweilen noch rätselhaft, obwohl <Help> schon vieles erklärt. C2 = 300 fF ( femto = 10E(-15) ) ist der Koppelkondensator. Sein Wert ist kritisch für die Form der Durchlaßkurve. Wir setzen den Cursor auf diesen Wert und tippen 200f <Return>. <F10> zeigt die Wirkung: Die Kurve wird sehr schmal ( unterkritische Kopplung ) und rückt nach rechts. 2 x <Return> übernimmt das Bild. Nun ändern wir den Wert von C2 in 500 fF und erhalten die bekannte höckerige Durchlaßkurve eines überkritisch gekoppelten Bandfilters. Drittes Beispiel: ----------------- Wir laden TIEFPASS.BEF und TIEFPASS.BAU. Es handelt sich um einen einfachen R - C - Tiefpaß. <F10> zeichnet die Kurve. Mit 2 * <Return> übernehmen und mit <F5> betrachten. Sowohl Frequenz als auch Dämpfung sind logarithmisch aufgetragen. Mit Hilfe der Maus kann man kontrollieren, daß die Dämpfung tatsächlich mit 20dB je Dekade ansteigt. Wie im Hilfsbildschirm ( <Help> ) beschrieben, lassen sich mit <F2> Linien einblenden, die bei 3, 6, 10, 20, 30, ... dB liegen. Dabei kann der Linienstil ( durchgezogen, gestrichelt ) mit <F10> gewählt werden. <F4> zeichnet Frequenzlinien, voreingestellt bei den Frequenzen: ... 0,6 0,7 0,8 0,9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200 ... Mit <1> kann man noch Linien bei ... 0,015 0,15 1,5 15 150 ... einfügen. Die anderen Linien lassen sich mit den Zifferntasten <2>, <3> ... <9> ein - und ausschalten. Es empfiehlt sich jetzt, ein wenig mit den Möglichkeiten zu experimentieren, welche Dialogbox 1 bietet. Im übrigen sollten die mit <Help> erreichbaren Hilfstexte eigentlich völlig ausreichen ( hoffe ich ). Auch wie man Bauteilewerte und Befehle ändert, ist durch ein wenig Probieren rasch zu erfassen. So können wir uns der Hauptschwierigkeit bei der Benutzung dieses Programms zuwenden: Der Erstellung einer Befehlsfolge zu einer vorgegebenen Schaltung. V Befehlsfolge erstellen für Zweipole ------------------------------------------- Was sind Zweipole ? ------------------- Ein Zweipol in dem hier verwendeten Sinn ist eine Schaltung mit zwei Anschlüssen, die sich durch Parallel - und Serienschaltung von Widerständen, Kondensatoren und Spulen erzeugen läßt. Der einfachste Zweipol ist ein einzelnes Bauteil ( R, C oder L ). Wenn wir zwei Bauteile in Serie schalten, entsteht ein neuer Zweipol. Wenn wir zwei Bauteile parallel schalten, entsteht auch ein neuer Zweipol. Abb. 3: Parallel - und Serienschaltung von Bauelementen bzw. Zweipolen. Die Regel lautet nun: a) Durch Serienschaltung zweier Zweipole entsteht wieder ein Zweipol. b) Durch Parallelschaltung zweier Zweipole entsteht wieder ein Zweipol. a und b dürfen beliebig oft hintereinander angewendet werden. Abb. 4: Hier liegen die Bauteile bzw. Zweipole nicht parallel bzw. in Serie ! Beispiele für als Zweipole zulässige Schaltungen finden sich in den Abbildungen 1, 6, 7 und in Kapitel XI. Die folgende Abbildung zeigt zwei Schaltungen, welche auf diese Weise nicht erzeugt werden können. Sie lassen sich nicht mit dem Programm RCL behandeln. Abb. 5: Zwei Beispiele, die sich nicht auf Parallel - und Serien - schaltung zurückführen lassen. Befehlsfolge erstellen ---------------------- Die Befehlsfolge erklärt dem Programm, wie der Zweipol aus Widerständen, Kondensatoren und Spulen zusammengebaut wird. Zuerst muß man die Werte aller Bauteile in Dialogbox 2 eintragen. Wenn der gleiche Wert mehrmals vorkommt, genügt natürlich ein einziger Eintrag. Nun gehen wir in die Spalte "Befehle" und tippen die Bezeichnung des ersten Bauteiles, z.B.: R 0. Damit haben wir bereits einen Zweipol: R 0 Das weitere Verfahren ist sehr einfach: Wir nennen das nächste Bauteil und geben an, ob es zum vorhandenen Zweipol parallel oder in Serie gelegt werden soll: L 0 ser ( <s> <Return> genügt ) Nun besteht unser Zweipol also aus R 0 und L 0 in Serie. Legen wir zu diesem noch C 0 parallel: C 0 par ( <p> <Return> genügt ) Fertig ist der Parallelschwingkreis ( Beispiel PARSKREI.BEF ) ! Dieses einfache Rezept funktioniert nicht, wenn etwa zu C 0 noch ein Widerstand R 1 in Serie liegen soll ( Abb. 6 ). Abb. 6: Eine kompliziertere Zweipolschaltung. Wir beginnen wieder: R 0 L 0 ser Nun lassen wir diesen Zweipol stehen und fangen einen neuen an: C 0 R 1 ser Der erste Zweipol ist immer noch vorhanden. Beide müssen nur noch parallel geschaltet werden: par fertig ! Kenner der Programmiersprache FORTH und Besitzer von Taschenrechnern der Firma Hewlett - Packard haben natürlich sofort gemerkt, worum es sich hier handelt: Die Schaltungen werden in Umgekehrter Polnischer Notation ( UPN ) beschrieben und bei den Berechnungen wird ein Stapel ( Stack ) verwendet. Die folgenden Erklärungen und Beispiele sind viel leichter zu verstehen, wenn die Bedeutung dieser beiden Begriffe klar ist. Stapel und UPN -------------- Denken wir uns einen Tisch und einen großen Vorrat an leeren A4 - Blättern. Wenn das Programm im obigen Beispiel den Befehl R 0 ausführt, denken wir uns den Wert von R 0 auf ein Blatt geschrieben und dieses auf den Tisch gelegt. Vorher lag an dieser Stelle noch nichts. Bei der nächsten Zeile L 0 legt das Programm ein weiteres Blatt mit dem Widerstandswert von L 0 auf das erste. Wir haben einen kleinen Stapel ! Der folgende Befehl ser funktioniert so: Die obersten beiden Blätter werden vom Stapel genommen, die darauf stehenden Widerstandswerte unter Berücksichtigung der Phasenwinkel addiert und auf ein neues Blatt geschrieben. Dieses wird auf den Stapel gelegt. Die beiden Blätter mit den Ausgangswerten kommen in den Reißwolf. Der Stapel besteht jetzt nur aus einem Blatt, er hat die Höhe 1. Nun steht im Beispiel C 0 , R 1 , ser . Zuerst werden also zwei Blätter mit den Widerstandswerten von C 0 bzw. R 1 auf den Stapel gelegt, dann durch ein Blatt mit dem Wert der Summe ersetzt. Der Stapel besteht jetzt aus zwei Blättern. Das untere enthält den Summenwiderstand von R 0 und L 0, das obere den von R 1 und C 0. Der Befehl par funktioniert ähnlich dem Befehl ser, jedoch enthält das zurückgelegte Blatt jetzt den Widerstandswert, welcher sich durch Parallelschaltung ergibt. ( Wenn wir die auf den beiden letzten Blättern stehenden Werte mit Z 1 und Z 2 bezeichnen, berechnet par bekanntlich den Wert des Ausdrucks ( Z 1 * Z 2 ) / ( Z 1 + Z 2) ) Damit ist die Befehlsfolge durchlaufen und auf dem obersten Blatt ( es ist hier das einzige ) steht der gesuchte Gesamtwiderstand. Die Befehle ser und par nehmen also immer die beiden obersten Werte vom Stapel und legen einen Ergebniswert zurück. ======== Um etwa die fünf Widerstände R 0 ... R 4 parallel zu schalten, kann man schreiben: R 0 R 0 erst alle R 1 R 1 Werte par R 2 auf R 2 R 3 den par oder auch R 4 Stapel R 3 par dann von par par oben nach R 4 par unten par par abarbeiten Die Ergebnisse sind gleich, jedoch erreicht im rechten Beispiel der Stapel eine Höhe von 5, im linken nur von 2. Der Platz reicht für 100. "Umgekehrt" heißt diese Notation deshalb, weil die durchzuführende Operation nicht zwischen, sondern erst nach den Werten angegeben wird: ==== R 1 R 2 ser ( Diese Methode ist auch beim Zahlenrechnen anwendbar: 5 7 + und nicht wie üblich 5 + 7 = 1 2 3 * + 4 5 - / und nicht wie üblich ( 1 + 2 * 3 ) / ( 4 - 5 ) = Vorteile : Klammern und "=" - Zeichen sind unnötig Man sieht alle Zwischenergebnisse ) Nun ein wirklich kompliziertes Beispiel: Abb. 7: Ein komplizierter Zweipol. Hier muß man zunächst erkennen, welche Bauteile zueinander parallel bzw. in Serie liegen. R 5 und L 2 liegen in Serie, nicht aber R 1 und L 1, zwischen diesen gibt es nämlich eine Abzweigung ! C 0, R 1 und L 0 liegen parallel, nicht aber L 1 und R 2, da ist ja noch C 1 ! Am besten zeichnet man die Schaltung um, so wie in Abb. 7 rechts. Wo man mit der Schaltungsfestlegung beginnt, ist im Prinzip gleichgültig. Nehmen wir R 4. ( S ist die Stapelhöhe nach Ausführung des Befehls ) Befehle S Kommentare R 4 1 R 4 auf den Tisch. Anfangszweipol. C 2 2 C 2 ist der nächste Zweipol, drauflegen ! par 1 beide parallel schalten gibt neuen Zweipol R 3 2 zu diesem ser 1 legen wir R 3 in Serie .. L 1 2 und nun noch L 1 par 1 parallel zu dem ganzen C 1 2 neue Teilschaltung beginnen: C 1 auf den Stapel R 2 3 R 2 ser 2 in Serie dazu und dann diese Teilschaltung par 1 zu dem vorhandenen Zweipol parallel legen. ~~~~~ 1 die ~ bewirken nichts, machen aber das Listing ~~~~~ 1 übersichtlicher. Leerzeilen in der Befehlsfolge ~~~~~ 1 sind nicht zugelassen. ~~~~~ 1 der erste Block ist fertig und bleibt liegen. C 0 2 der nächste Block wird begonnen: R 1 3 C 0, R 1 und L 0 parallel legen par 2 L 0 3 par 2 ~~~~~ 2 ser 1 und diesen Block in Serie zum ersten Block ~~~~~ 1 R 5 2 Serienschaltung aus R 5 und L 2 L 2 3 ser 2 ~~~~~ 2 par 1 zum bisherigen parallel legen ~~~~~ 1 R 0 2 und R 0 unten dran ser 1 fertig ! Die gleiche Schaltung noch einmal, wir beginnen jedoch mit R 0. R 0 1 zu R 0 liegt nichts parallel oder in Serie ~~~~~ 1 R 5 2 also R 0 liegen lassen und eine andere L 2 3 Teilschaltung berechnen. Diese liegt weder in Serie ser 2 noch parallel zu etwas vorhandenem. Hier geht's ~~~~~ 2 also auch noch nicht weiter. ~~~~~ 2 nun liegen schon die Widerstände zweier ~~~~~ 2 Teilschaltungen auf dem Stapel. C 0 3 Dies wird die dritte, R 1 4 welche aber par 3 mit der zweiten L 0 4 weder parallel noch in Serie liegt. par 3 also lassen wir sie liegen und ... ~~~~~ 3 C 2 4 beginnen Teilschaltung Nr. 4 R 4 5 par 4 sie besteht aus C 2, R 4, R 3 und L 1. R 3 5 ser 4 leider liegt auch sie nicht parallel oder in Serie L 1 5 zu Teilschaltung 3, also liegenlassen ! par 4 ~~~~~ 4 R 2 5 Teilschaltung Nummer 5. C 1 6 ser 5 ~~~~~ 5 Nun beginnt das große Aufräumen : ~~~~~ 5 par 4 Teil 5 und 4 parallel schalten ~~~~~ 4 ser 3 Teil 3 liegt in Serie dazu ( R 1, C 0, R 0 ) ~~~~~ 3 par 2 Teil 2 wiederum parallel ( R 5, L 2 ) ~~~~~ 2 ser 1 und schließlich R 0 in Serie. Fertig ! Man sieht: Wenn eine neue Teilschaltung begonnen wird, bleiben die bereits erstellten einfach liegen und können zuletzt in einem Rutsch zusammengefügt werden. Allerdings muß man sie dabei in der umgekehrten Reihenfolge verarbeiten ! =========== Es erfordert ein wenig Übung, bis man einer Schaltung sofort ansieht, wie sie in Befehle umgesetzt werden kann. Bis es soweit ist, kann man sich diese Aufgabe mit Hilfe der Befehle sto und rcl erleichtern. sto 34 bedeutet: Bringe eine Kopie des Wertes, der auf dem Stapel ganz oben liegt, in den Speicher 34. Am Stapel ändert sich dadurch nichts ! rcl 00 bedeutet: Hole eine Kopie des Inhalts von Speicher 00 und lege sie oben auf den Stapel. Bei rcl wird der Stapel also eins höher ! Das Programm hält 100 Speicher bereit, in denen sich Werte aufheben lassen. Diese sind von 00 bis 99 numeriert. Hier nun die gleiche Schaltung noch einmal mit sto und rcl : L 2 R 5 ser sto 00 ~~~~~ L 0 R 1 par C 0 par sto 01 ~~~~~ C 2 R 4 par R 3 ser L 1 par C 1 R 2 ser par Hier brauchen wir keinen Speicher. ~~~~~ Es geht sofort weiter. rcl 01 ser rcl 00 par R 0 ser Am Ende dieser Befehlsfolge hat der Stapel nicht die Höhe 1. Das macht aber nichts, da für die Grafik immer der oberste Wert verwendet wird. Vor jeder neuen Abarbeitung der Befehlsfolge wird der Stapel gelöscht. VI Befehlsfolge für einen Spannungsteiler ----------------------------------------------- Abb. 8: Einfacher Spannungsteiler Ein Spannungsteiler mit Widerständen ist in Abb. 8a dargestellt. Seine Ausgangsspannung ist mit der Eingangsspannung in Phase. Für den Betrag der Ausgangsspannung gilt: R 1 Ua = --------- * Ue R 1 + R 2 Im allgemeinen Fall ist der Spannungsteiler jedoch aus zwei beliebigen Zweipolen mit Impedanzen Z 1 und Z 2 aufgebaut ( Abb 8b ). Auch hier gilt für die Ausgangsspannung: Z 1 Ua = --------- * Ue Z 1 + Z 2 Da wir immer Ue = 1V voraussetzen, bleibt für die Rechnung nur Z 1 Ua = --------- V Z 1 + Z 2 Das Ergebnis Ua enthält den Betrag der Spannung ( den ein Voltmeter anzeigen würde ) und den Phasenwinkel, der angibt, um welchen Bruchteil einer ganzen Schwingung die Ausgangsspannung gegenüber der Eingangs- spannung verschoben ist. Phasenwinkel -90 Grad: Ua läuft gegen Ue um 1/4 Schwingung nach Phasenwinkel +90 Grad: Ua läuft gegen Ue um 1/4 Schwingung vor Der Phasenwinkel kann zwischen +180 Grad und - 180 Grad liegen. Betrag und Phasenwinkel ändern sich i.a. mit der Frequenz der angelegten Wechselspannung Ue. Das Programm berechnet Betrag und Phase von Ua für viele Frequenzen und trägt die Ergebnisse als Funktion der Frequenz auf. Betrachten wir das Beispiel eines einfachen R - C - Tiefpasses ( Abb. 9 ). Abb. 9: R - C - Tiefpaß. Links: übliche Zeichenweise. Rechts: als Spannungsteiler Wir speichern zuerst die Bauteilewerte in R 0 bzw. C 0, dann schreiben wir die Befehlsfolge. C 0 Das ist der untere Spannungsteilerzweipol Z 1 ~~~~~ Wir lassen ihn stehen und berechnen nun den ~~~~~ Gesamtwiderstand der beiden Zweipole: C 0 R 0 ser Dies ist Z 1 + Z 2 ~~~~~ Darunter liegt immer noch Z 1 ( C 0 ) / liefert Z 1 / ( Z 1 + Z 2 ). Fertig ! Nun ein umfangreicheres Beispiel eines einzelnen Spannungsteilers, das Wien - Glied. Abb. 10: Das Wien - Glied Hier sind Z 0 und Z 1 zusammengesetzte Zweipole. Wir beginnen wieder mit der unteren Spannungsteilerimpedanz: C 0 R 0 par Dieser Wert ( genannt Z 0 ) muß einmal auf dem Stapel liegenbleiben für den abschließenden "/" - Befehl. Darüberhinaus wird er aber auch zur Bestimmung der Gesamtimpedanz gebraucht. Um ihn nicht noch einmal berechnen zu müssen, gibt es den Befehl dup Dieser dupliziert den Wert, der auf dem Stapel ganz oben liegt, so daß er nun zweimal vorhanden ist. Es folgt der obere Spannungsteilerzweig: C 1 R 1 ser Den unteren dazu in Serie: ser Nun besteht der Stapel aus Z 0 und darüber Z 0 + Z 1. Es fehlt nur noch / Wenn C 1 = C 0 und R 1 = R 0, haben wir das klassische Wien - Glied, das zusammen mit einem weiteren Spannungsteiler aus Widerständen die sogenannte Wien - Brücke bildet, welche man häufig in Sinusgeneratoren findet. Das Rezept für die Behandlung eines einfachen Spannungsteilers noch einmal in Kurzform: * unteren Spannungsteilerzweig als Zweipol anschreiben * seine berechnete Impedanz mit dup noch einmal auf den Stapel legen * oberen Spannungsteilerzweig als Zweipol anschreiben * mit ser die Gesamtimpedanz bilden * mit / die Impedanz des unteren Zweiges durch die Gesamtimpedanz teilen VII Befehlsfolge für zwei aufeinanderfolgende Spannungsteiler ------------------------------------------------------------------- Abb. 11: Der Spannungsteiler aus Z 2 und Z 3 wird durch den von Z 0 und Z 1 gebildeten Spannungsteiler belastet. Die in Abb. 11 gezeichneten Kästchen enthalten jeweils beliebige Zweipole, deren Gesamtimpedanz in bekannter Weise berechnet wird. Es kommt darauf an, die Spannung Um herauszufinden. Sie wird nämlich von dem aus Z 1 und Z 0 bestehenden zweiten Spannungsteiler in bekannter Weise geteilt, wobei Ua entsteht. Um ist nun nicht einfach die mittels Z 3 und Z 2 geteilte Eingangs- spannung Ue !! Vielmehr liegt zu Z 2 ja die Serienschaltung von Z 1 und Z 0 parallel. Den unteren Zweig des ersten Spannungsteilers muß man folglich so berechnen: Z 0, Z 1, ser, Z 2, par Nun müssen wir das Ganze nur noch übersichtlich schreiben. ( Anstelle von Z 0 ... Z 3 stehen die Befehlsfolgen der entsprechenden Zweipole ) Z 0 <-- nur symbolisch ! Berechnung des Zweipoles Z 0 sto 0 ~~~~~ die gespeicherten Werte brauchen wir weiter unten Z 1 ser sto 1 ~~~~~ Z 2 par sto 2 unterer Zweig des ersten Spannungsteilers ~~~~~ Z 3 ser sto 3 ~~~~~ hier haben wir die Gesamtimpedanz des ersten ~~~~~ Spannungsteilers auf dem Stapel und in Speicher 3 rcl 2 Impedanz des unteren Zweiges des ersten Teilers rcl 3 Gesamtimpedanz / Dies ist Um ~~~~~ rcl 0 Impedanz des unteren Zweiges des zweiten Teilers rcl 1 Gesamtimpedanz des zweiten Teilers ( Z 0 + Z 1 ) / Liefert den Teilerfaktor des zweiten Teilers. ~~~~~ Mit diesem muß jetzt Um multiplizert werden, * um die Ausgangsspannung Ua zu erhalten. Als ausführliches Beispiel betrachten wir ZWEIKREI.BEF Abb. 12: Dies sind die zwei gekoppelten Schwingkreise aus Abb. 2, umgezeichnet in die Form zweier Spannungsteiler. Befehlsfolge zu ZWEIKREI : R 0 L 0 ser R 2 par C 3 par sto 0 hier haben wir Z 0 ~~~~~ C 2 ser sto 1 Z 0 + Z 1 = Gesamtimpedanz des 2. Spannungsteilers ~~~~~ C 0 par R 0 L 0 ser par sto 2 Z 2 parallel zu ( Z 0 + Z 1 ) ~~~~~ C 1 ser R 1 ser sto 3 Hier haben wir die Gesamtimpedanz des ersten ~~~~~ Spannungsteilers auf dem Stapel und in Speicher 3 rcl 2 Impedanz des unteren Zweiges des ersten Teilers rcl 3 Gesamtimpedanz / Dies ist Um ~~~~~ rcl 0 Impedanz des unteren Zweiges des zweiten Teilers rcl 1 Gesamtimpedanz des zweiten Teilers ( Z 0 + Z 1 ) / Liefert den Teilerfaktor des zweiten Teilers. ~~~~~ Mit diesem muß jetzt Um multiplizert werden, * um die Ausgangsspannung Ua zu erhalten. VIII Beliebig viele aufeinanderfolgende Spannungsteiler ------------------------------------------------------------- Abb. 13: Vier Spannungsteiler in einer Kette. Die in Abb. 13 gezeichneten Kästchen enthalten jeweils beliebige Zweipole, deren Impedanz in bekannter Weise berechnet wird. Wie aber berechnet man Ua aus Ue ? Das ist einfacher, als es scheinen mag. Zuerst numerieren wir alle nicht an 0 V liegenden Punkte wie in Abb. 13. Dann verwenden wir folgendes Schema: Z 0 <-- nur symbolisch ! Berechnung des Zweipoles Z 0 sto 0 Unterer Zweig des Spannungsteilers aus Z 0 und Z 1 ~~~~~ Z 1 ser sto 1 Gesamtimpedanz von Punkt 1 nach Masse. ~~~~~ Z 2 par Gesamtimpedanz von Punkt 2 nach Masse, zugleich unterer sto 2 Zweig eines Spannungsteilers, dessen oberer Z 3 ist. ~~~~~ Z 3 ser Gesamtimpedanz von Punkt 3 nach Masse. sto 3 ~~~~~ Z 4 par Gesamtimpedanz von Punkt 4 nach Masse, zugleich unterer sto 4 Zweig eines Spannungsteilers, dessen oberer Z 5 ist. ~~~~~ Z 5 ser Gesamtimpedanz von Punkt 5 nach Masse. sto 5 ~~~~~ Z 6 par Gesamtimpedanz von Punkt 6 nach Masse, zugleich unterer sto 6 Zweig eines Spannungsteilers, dessen oberer Z 7 ist. ~~~~~ Z 7 ser Gesamtimpedanz von Punkt 7 nach Masse. sto 7 ~~~~~ ~~~~~ Zuerst berechnen wir die Spannung an Punkt 6: U 6 rcl 6 Impedanz des unteren Zweiges ab Punkt 6 nach Masse rcl 7 Gesamtimpedanz / ergibt U 6, die Eingangsspannung des nächsten Teilers, ~~~~~ der aus Z 5 und allem, was rechts davon liegt, besteht. rcl 4 rcl 5 / hier haben wir den Teilungsfaktor ~~~~~ die Eingangsspannung ist jetzt aber nicht 1 V, sondern U 6. * also U 6 ( liegt eins tiefer auf dem Stapel ) mit dem ~~~~~ Teilungsfaktor multiplizieren. So ergibt sich U 4. rcl 2 U 4 wird geteilt vom nächsten Spannungsteiler, der aus rcl 3 Z 3 und dem Rest besteht. / dies ist sein Teilungsfaktor * mal U 4 gibt U 2. ~~~~~ Schließlich folgt der letzte Spannungsteiler: rcl 0 rcl 1 / * Und hier haben wir Ua ! Als einfaches Beispiel betrachten wir einen vierstufigen R - C - Hochpaß. Abb. 14: Ein mehrstufiger R - C - Hochpaß ( HOCHVIER.BEF ) Alle R - Werte und alle C - Werte sollen gleich sein und werden zuerst in R 0 bzw. C 0 gespeichert. Dann geht's los: R 0 sto 0 ~~~~~ C 0 ser sto 1 ~~~~~ R 0 par sto 2 ~~~~~ C 0 ser sto 3 ~~~~~ R 0 par sto 4 ~~~~~ C 0 ser sto 5 ~~~~~ R 0 par sto 6 ~~~~~ C 0 ser jetzt liegt Ze auf dem Stapel sto 7 ~~~~~ rcl 6 rcl 7 / Beachte: hier folgt kein * ! rcl 4 rcl 5 / * rcl 2 Beachte: erst die kleinere Registernummer ! rcl 3 / * rcl 0 rcl 1 / * Und hier haben wir Ua ! Man kann natürlich auch nach der Eingangsimpedanz Ze dieser Schaltung fragen. Diese wird von der Spannungsquelle gesehen und liegt zwischen Punkt 7 und Masse. Wir haben Ze bereits berechnet und es genügt, den Befehl sto 7 sowie alle folgenden Befehle wegzulassen, um mittels <F10> den Verlauf von Ze berechnen zu können. Natürlich sind für diese Berechnung auch alle vorhergehenden sto - Befehle unnötig. Gelegentlich findet man Schaltungen, bei denen vom Eingang ( hier Punkt 7 ) nach Masse noch ein Zweipol ( hier Z8 ) liegt ( z.B. bei Pi-Filtern ). Dieser belastet die Eingangsspannung, welche aber als konstant ( 1V ) vorausgesetzt wurde und sich deshalb nicht ändert. Auf die folgenden Spannungsteiler hat Z 8 keinen Einfluß. Bei der Berechnung der Ausgangsspannung Ue muß Z 8 deshalb weggelassen werden. Für die Berechnung der Eingangsimpedanz Ze ist Z 8 dagegen notwendig. Man schreibt also: ....... ....... par Gesamtimpedanz von Punkt 6 nach Masse, zugleich unterer sto 6 Zweig eines Spannungsteilers, dessen oberer Z 7 ist. ~~~~~ Z 7 ser Gesamtimpedanz von Punkt 7 nach Masse. Z 8 par Ze ist berechnet Ein praktischer Hinweis: Um Tippfehler zu vermeiden, sollte der letzte Abschnitt der Befehlsfolge immer so aussehen wie gezeigt, d.h. die Registernummern sollten ( von unten ) 1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 ... aufeinander folgen. Falls noch andere Speicherplätze gebraucht werden, kann man etwa die Nummern 99 98 97 ... verwenden. IX Kurzlehrgang über komplexe Zahlen ------------------------------------------ Die uns geläufigen Zahlen lassen sich bekanntlich als Punkte auf einer Zahlengeraden darstellen: Abb. 15: Die reelle Zahlengerade Sie werden auch "reelle Zahlen" genannt, was aber keine tiefere Bedeutung hat. Mit ihnen kann jeder Taschenrechner umgehen. Während also eine reelle Zahl R einen Punkt auf einer Geraden markiert, legt eine komplexe Zahl Z einen Punkt in der Ebene fest. Wie muß eine Zahl aussehen, die so etwas kann ? Die Lösung ist verblüffend einfach: Jede komplexe Zahl besteht aus zwei reellen Zahlen, von denen die erste den Rechtswert und die zweite den Hochwert des Punktes in einem rechtwinkligen Koordinatensystem angibt. Abb. 16: Die komplexe Zahlenebene Gewöhnlich setzt man die beiden reellen Zahlen in Klammern, so daß eine komplexe Zahl z.B. so aussehen kann: ( 8 ; 6 ). Dabei ist die erste Zahl der Rechtswert, die zweite der Hochwert. Einwand: Sowas ist doch keine Zahl ! Antwort: Doch ! Mathematiker und Elektrotechniker rechnen routinemäßig damit und kommen sogar zu sinnvollen Ergebnissen ( s. unten ). Beim Betrachten von Abb. 16 sehen wir, daß die Rechtsachse nichts anderes ist als die reelle Zahlengerade. Punkte, die auf ihr liegen, stellen also eigentlich reelle Zahlen dar. Damit haben wir erkannt, daß die reellen Zahlen nur ein Sonderfall ( eine Teilmenge ) der komplexen sind, nämlich diejenigen mit dem Hochwert Null. Die reelle Zahl 3 wird als komplexe Zahl ( 3 ; 0 ) geschrieben und -7,25 ist die komplexe Zahl ( -7,25 ; 0 ). Deshalb hat sich für die erste Komponente einer komplexen Zahl die Bezeichnung 'Realteil' eingebürgert. Die zweite trägt den beeindruckenden Namen 'Imaginärteil', was aber nur historische Bedeutung besitzt. Entsprechend heißen die Achsen des obigen Koordinatensystems auch reelle Achse bzw. imaginäre Achse. Eine komplexe Zahl, deren Realteil Null ist, kann man auch als imaginäre Zahl bezeichnen, z.B. ( 0 ; -0,02 ). Zahlen haben natürlich nur dann einen Sinn, wenn man damit auch rechnen kann ! Die Regeln für Addition ( + ), Subtraktion ( - ), Multiplikation ( * ) und Division ( / ) mit reellen Zahlen sind allgemein bekannt. Die Regeln für das Rechnen mit komplexen Zahlen werden nun nicht von Grund auf neu festgelegt, sondern auf gewöhnliche Rechnungen mit ihren Komponenten ( Real - und Imaginärteil ) zurückgeführt. Regeln für die Grundrechenarten mit komplexen Zahlen ---------------------------------------------------- Wir betrachten zwei komplexe Zahlen Z1 = ( R1 ; J1 ) und Z2 = ( R2 ; J2 ) ( J statt I(maginär) wegen der besseren Lesbarkeit ) Dann ist Z1 + Z2 = ( R1 + R2 ; J1 + J2 ) Z1 - Z2 = ( R1 - R2 ; J1 - J2 ) Z1 * Z2 = ( R1 * R2 - J1 * J2 ; R1 * J2 + R2 * J1 ) R1 * R2 + J1 * J2 R2 * J1 - R1 * J2 Z1 / Z2 = ( ----------------- ; ----------------- ) R2 * R2 + J2 * J2 R2 * R2 + J2 * J2 Beispiele: ( 3 ; 4 ) + ( 2 ; 5 ) = ( 5 ; 9 ) ( -1,2 ; 0,34 ) - ( 2 ; -5,11 ) = ( -3,2 ; 5,45 ) ( 3 ; 2 ) * ( 5 ; 4 ) = ( 3 * 5 - 2 * 4 , 3 * 4 + 5 * 2 ) = ( 7 ; 22 ) 2 * 3 + 5 + 4 3 * 5 - 2 * 4 ( 2 ; 5 ) / ( 3 ; 4 ) = ( ------------- ; ------------- ) = 3 * 3 + 4 * 4 3 * 3 + 4 * 4 26 7 = ( -- ; -- ) = ( 1,04 ; 0,28 ) 25 25 Besonders interessant: 2 ( 0 ; 1 ) = ( 0 ; 1 ) * ( 0 ; 1 ) = = ( 0 * 0 - 1 * 1 ; 0 * 1 + 0 * 1 ) = ( -1 ; 0 ) Das Quadrat von ( 0 ; 1 ) ist also ( -1 ; 0 ). Das ist aber die ganz gewöhnliche reelle Zahl -1 ! Von dieser -1 wissen wir, daß sie in den reellen Zahlen keine Wurzel besitzt, d.h. es gibt keine reelle Zahl, die mit sich selbst multipliziert ( quadriert ) -1 ergibt. Dasselbe gilt für alle negativen reellen Zahlen. In den komplexen Zahlen findet man aber auch zu negativen reellen Zahlen wie -1; -0,123; -9999; -4 die Wurzeln ( z.B.: SQR(-4) = ( 0 ; 2 ) ). Solche Wurzeln aus negativen reellen Zahlen haben alle den Realteil Null. Diese Eigenschaft der erst spät entdeckten komplexen Zahlen fand man anfangs so rätselhaft, daß die Wurzeln aus negativen reellen Zahlen die Bezeichnung 'imaginär' ( = nur als Vorstellung existierend, im Gegensatz zu den gewöhn- lichen Zahlen, die man als real ansah ) erhielten. Die Punkte der Ebene lassen sich statt durch Rechtswert und Hochwert auch mittels Polarkoordinaten beschreiben. Dabei gibt man die Entfernung des Punktes vom Koordinatenursprung und die Richtung vom Koordinatenursprung zum Punkt an. Beispiel: Der Punkt ( 8 ; 6 ) hat vom Koordinatenursprung die Entfernung 10. Als Richtungsangabe verwendet man den Winkel, um den die positive Rechtsachse entgegen dem Uhrzeigersinn gedreht werden müßte, um durch den Punkt ( 8 ; 6 ) zu gehen, hier 37 Grad. Also: ( 8 ; 6 ) = ( 10 ; 37 Grad ) rechtwinklige Koordinaten Polarkoordinaten Es muß natürlich immer gesagt werden, ob ein solches Zahlenpaar rechtwinklige oder Polarkoordinaten bedeuten soll. Offensichtlich haben wir damit auch eine neue Darstellungsweise für komplexe Zahlen gewonnen. ( 10 ; 37 Grad ) ist nun dieselbe komplexe Zahl wie ( 8 ; 6 ). Dabei nennen wir 10 den Betrag der komplexen Zahl ( er kommt zuerst ) und 37 Grad ihren Richtungswinkel. Dies stellt uns vor die Frage, wie die eine Schreibweise einer komplexen Zahl in die andere umzurechnen sei. Hier genügen die Formeln für die Umrechnung rechtwinkliger Koordinaten in Polarkoordinaten. Am Beispiel: Betrag von ( 8 ; 6 ) = Absolutwert von ( 8 ; 6 ) = ABS( 8 ; 6 ) = = SQR( 8 * 8 + 6 * 6 ) = SQR( 100 ) = 10 Richtungswinkel von ( 8 ; 6 ) = ATN( 6 / 8 ) = = ATN( 0,75 ) = 37 Grad = 0,64 ( ATN bedeutet arcus tangens, auf manchen Taschenrechnern INV TAN; 0,64 ist die Angabe des Winkels 37 Grad im sog. Bogenmaß, bei dem einem Winkel von 180 Grad der Wert von Pi = 3,14159265359... entspricht ) Wir können also schreiben ( 8 ; 6 ) = ( 10 ; 0,64 ), wobei aber klar sein muß, daß links rechtwinklige Koordinaten und rechts Polarkoordinaten gemeint sind ! Ein kleines Problen tritt auf, wenn man mit dem Taschenrechner den Richtungswinkel zu einem Punkt bestimmen will, der nicht rechts von der imaginären Achse liegt. Hier muß man ein wenig mitdenken und evtl. 180 Grad addieren oder subtrahieren ! Beispiele: ( -8 ; 6 ) = ( 10 ; 143,13 Grad ) = ( 10 ; 2,498 ) ( -8 ; -6 ) = ( 10 ; -143,13 Grad ) = ( 10 ; -2,498 ) ( 0 ; 3 ) = ( 3 ; 90 Grad ) = ( 3 ; 1,571 ) ( 0 ; -7 ) = ( 7 ; -90 Grad ) = ( 7 ; -1,571 ) X Anwendung komplexer Zahlen in der Elektrotechnik ------------------------------------------------------ Wir verwenden Widerstände ( Wert R in Ohm ), Kondensatoren ( Kapazität C in Farad ) und Spulen ( Induktivität L in Henry ). Legt man an diese Bauelemente eine sinusförmige Wechselspannung der Größe U mit der Frequenz f, so fließt ein Wechselstrom I hindurch, für den gilt: U I = - Z Dabei ist Z der Wechselstromwiderstand ( die Impedanz ) des Bauelementes, U und I sind Effektivwerte. Der Wechselstromwiderstand ist ... ... beim ohmschen Widerstand Z = R 1 ... beim Kondensator Z = -------------- 2 * Pi * f * C ... bei der Spule Z = 2 * Pi * f * L Dabei ist Pi = 3,14159... und statt 2 * Pi * f schreibt man häufig omega, auch als Winkelgeschwindigkeit bekannt. Beachte: Bei Kondensator und Spule ist der Wechselstromwiderstand frequenzabhängig, da in der Formel die Frequenz f vorkommt. Der Wechselstromwiderstand eines Kondensators sinkt bei wachsender Frequenz und ist unendlich, wenn f = 0 ist, also bei Gleichspannung. Dies gilt natürlich nur für einen idealen Kondensator, d.h. einen, dessen Platten perfekt voneinander isoliert sind und dessen Zuleitungen den Widerstand Null besitzen. Wirkliche Kondensatoren kommen dem Ideal bei nicht zu hohen Frequenzen ziemlich nahe. Der Wechselstromwiderstand einer Spule steigt mit wachsender Frequenz und ist Null bei Gleichspannung. Dies gilt natürlich nur für eine ideale Spule, also eine, deren Drahtwiderstand Null ist. Wirkliche Spulen sind davon weit entfernt. Der durch Widerstand, Kondensator oder Spule fließende Strom ist - wie die angelegte Spannung - sinusförmig und hat die gleiche Frequenz wie diese. Aber nur beim ohmschen Widerstand sind Spannung und Strom in Phase, d.h. die entsprechenden Sinuskurven erreichen gleichzeitig ihre Maxima und Minima. Abb. 17: Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom bei R, C und L Beim Kondensator ist die Stromkurve gegenüber der Spannungskurve um eine Viertelschwingung nach links verschoben. Man sagt: Der Strom eilt der Spannung um 90 Grad voraus. ( Eine ganze Schwingung wird in 360 Grad eingeteilt ) Bei der Spule ist die Stromkurve gegenüber der Spannungskurve um eine Viertelschwingung nach rechts verschoben. Hier eilt der Strom der Spannung um 90 Grad nach. Beispiel: An eine Spule von 65 mH wird eine Wechselspannung der Frequenz 850 Hz von 0,23 V gelegt. Welcher Strom fließt ? U U 0,23 I = - = -------------- = -------------------- A = 0,66 mA Z 2 * Pi * f * L 2 * Pi * 850 * 65E-3 Dieser Strom eilt der angelegten Spannung um 90 Grad nach. ( Tatsächlich besitzt die Spule aber einen kleinen Drahtwiderstand. Deshalb fließt etwas weniger Strom und die Phasenverschiebung ist nicht ganz 90 Grad ) Die Formel I = U / Z liefert zunächst nur den Betrag von I und keine Information über den Phasenwinkel. Das ändert sich, wenn wir U, I und Z als komplexe Zahlen auffassen. Beim Widerstand gilt dann Z = ( R ; 0 ) 1 Beim Kondensator Z = ( 0 ; - -------------- ) 2 * Pi * f * C Bei der Spule Z = ( 0 ; 2 * Pi * f * L ) Kondensator und Spule besitzen also rein imaginäre Widerstände. Sie haben die erstaunliche Eigenschaft, nicht warm zu werden, auch wenn bei hoher angelegter Spannung ein großer Strom durch das Bauteil fließt. Deshalb spricht man hier von einem Blindwiderstand und einem Blindstrom. Die scheinbar aufgenommene Leistung U * I nennt man Blindleistung. Sie wird von elektrischen Verbrauchszählern nicht registriert. Der ohmsche Widerstand ist rein reell. Er wird warm, wenn man eine Spannung anlegt. Man spricht deshalb auch von Wirkwiderstand, Wirkstrom und Wirkleistung. Als Beispiel berechnen wir den Strom, der durch eine Spule von 0,15 H bei einer Wechselspannung von 10 V und der Frequenz 50 Hz fließt. Am Ergebnis soll abzulesen sein, um welchen Winkel der Strom gegenüber der Spannung phasenverschoben ist. Die Spannung wird jetzt als komplexe Zahl vorgegeben, deren Betrag 10 V ist. Dafür gibt es viele Möglichkeiten, z.B. ( 0 ; -10 ) V, ( 8 ; -6 ) V usw. Wir wählen natürlich ( 10 ; 0 ) V, denn der Richtungswinkel dieser komplexen Zahl ist Null. Wenn wir später den Strom als komplexe Zahl erhalten, ist die gesuchte Phasenverschiebung nämlich der Unterschied zwischen dem Richtungswinkel der Spannung ( der 0 ist ) und dem Richtungswinkel des Stromes, also einfach der letztere. Die Rechnung: U ( 10 ; 0 ) V I = - = ------------------------------ = Z ( 0 ; 2 * Pi * 50 * 0,15 ) Ohm ( 10 ; 0 ) = ---------- A = ( 0 ; -0,21 ) A ( 0 ; 47 ) Der von einem Meßgerät angezeigte Betrag dieses Stromes ist I = SQR( 0 * 0 + (-0,21) * (-0,21) ) A = 0,21 A Zu der komplexen Zahl ( 0 ; -0,21 ) gehört ein Richtungswinkel von -90 Grad. Also läuft dieser Strom gegenüber der angelegten Spannung um 90 Grad nach. Nun haben wir das ja auch schon vorher gewußt. In diesem einfachen Fall war die Anwendung komplexer Werte für L, U und I etwas übertrieben. Der eigentliche Vorteil dieser Methode zeigt sich erst bei ihrer Anwendung auf zusammengesetzte Schaltungen. Wir kennen die Formeln für Parallel - und Serienschaltung von Widerständen. Serienschaltung: R ges = R1 + R2 + R2 + R4 + ... 1 1 1 1 1 Parallelschaltung: ----- = -- + -- + -- + -- + ... R ges R1 R2 R3 R4 Sonderfall der Parallelschaltung von zwei Widerständen: R1 * R2 R ges = ------- R1 + R2 Diese Formeln gelten auch, wenn man R durch Z ersetzt, also anstelle der Widerstände komplexe Impedanzen hat. Sie gelten sogar dann, wenn verschiedenartige Bauteile zusammengeschaltet werden. Einige Beispiele: 1. Welchen Wechselstromwiderstand ( Impedanz ) besitzt die Parallelschaltung eines Widerstandes von 60 Ohm mit einem Kondensator von 2 Mikrofarad bei der Frequenz 5000 Hz ? ZR = ( 60 ; 0 ) Ohm 1 1 ZC = ( 0 ; -------------- ) = ( 0 ; - -------------------- Ohm ) = 2 * Pi * f * C 2 * Pi * 5000 * 2E-6 = ( 0 ; -15,9 ) Ohm ZR * ZC ( 60 ; 0 ) * ( 0 ; -15,9 ) Z ges = ------- = -------------------------- Ohm = ZR + ZC ( 60 ; 0 ) + ( 0 ; -15,9 ) ( 0 ; -955 ) = -------------- Ohm = ( 3,94 ; -14,9 ) Ohm ( 60 ; -15,9 ) ==================== Welcher Strom fließt, wenn eine Wechselspannung von 10 V ( 5000 Hz ) angelegt wird ? U ( 10 ; 0 ) V I = ----- = -------------------- = ( 0,147 ; 0,059 ) A Z ges ( 3,94 ; -14,9 ) Ohm =================== Der Betrag dieses Stromes ( den ein Meßinstrument anzeigt ) ist I abs = SQR( 0,147 * 0,147 + 0,059 * 0,059 ) A = 0,158 A ======= Seine Phasenverschiebung gegenüber der angelegten Spannung beträgt alpha = ATN( 0,059 / 0,147 ) = + 22 Grad ========= ( Das "+" - Zeichen bedeutet, daß der Strom voreilt ) 2. Man berechne allgemein die Impedanz einer Serienschaltung aus Widerstand, Kondensator und Spule. Bei einer Serienschaltung sind die Impedanzen zu addieren: Z ges = ZR + ZC + ZL = 1 = ( R ; 0 ) + ( 0 ; - -------------- ) + ( 0 ; 2 * Pi * f * L ) = 2 * Pi * f * C 1 = ( R ; 2 * Pi * f * L - -------------- ) 2 * Pi * f * C ======================================= Man sieht, daß der Imaginärteil 0 wird, falls ===== 1 2 * Pi * f * L = -------------- ist. 2 * Pi * f * C Dann ist Z ges = ( R ; 0 ), also ein reiner ohmscher Widerstand und außerdem ist Z ges dann am kleinsten. L und C sind fest vorgegebene Bauteilwerte, schauen wir also, ob sich durch Ändern von f die obige Gleichung erfüllen läßt. Man sieht gleich, daß das immer möglich ist. Denken wir uns f ganz nahe bei Null, dann ist die linke Seite sehr klein, die rechte dagegen sehr groß. Nun lassen wir f langsam anwachsen. Dabei wird die linke Seite immer größer, die rechte aber kleiner und geht gegen Null. Bei einem bestimmten f müssen sie also gleich sein ! Nach einer kleinen algebraischen Umformung ergibt sich 1 f = --------------------- 2 * Pi * SQR( L * C ) die bekannte Formel für die Resonanzfrequenz eines Schwingkreises ! Bei dieser Frequenz ist die Impedanz eines Serienschwingkreises also am kleinsten und reell. Sie ist ein ohmscher Widerstand, der häufig zum größten Teil aus dem Drahtwiderstand der Spule besteht. 3. Man berechne die Ausgangsspannung Ua eines R - C - Tiefpaßfilters mit R = 10 kOhm und C = 100 nF in Abhängigkeit von der Frequenz f der Eingangsspannung Ue. Der Betrag von Ue sei dabei 1 V. Abb. 18: Das R - C - Tiefpaßfilter Es liegt ein einfacher Spannungsteiler vor, für dessen Ausgangsspannung bekanntlich gilt: untere Impedanz ZC Ua = Ue * --------------- = Ue * ------- = Gesamtimpedanz ZR + ZC 1 ( 0 ; - -------------- ) 2 * Pi * f * C = Ue * ------------------------------------ 1 ( R ; 0 ) + ( 0 ; - -------------- ) 2 * Pi * f * C ========================================= Nun müßten wir R, C und Ue einsetzen und den Wert dieses Terms für viele Frequenzen berechnen und in ein geeignetes Koordinatensystem eintragen, um das Diagramm in Abb. 19 zu erhalten: Abb. 19: Ausgangsspannung des Tiefpaßfilters als Funktion der Frequenz Diese monotone Rechnung liegt aber unserem Computer viel besser ! Wir brauchen ihm nur das Rechnen mit komplexen Zahlen beizubringen und dann zu schreiben C 0 C 0 R 0 ser / Bei dem Befehl C 0 legt das Programm nicht den Wert der Kapazität des Kondensators auf den Rechenstapel, sondern gleich dessen komplexe Impedanz bei der betrachteten Frequenz. Das Ergebnis der Rechnung ist eine komplexe Zahl, deren Betrag die meßbare Ausgangsspannung darstellt und deren Richtungswinkel die Phasenverschiebung von Ua gegen Ue ist. Die Berechnung des Stehwellenverhältnisses ------------------------------------------ Vom Sender zur Antenne führt gewöhnlich ein Koaxialkabel. Der Sender erzeugt an seinem Kabelende eine hochfrequente Wechselspannung, die sich mit etwa zwei Dritteln der Lichtgeschwindigkeit c ( c = 300000 km/s ) in Richtung auf die Antenne ausbreitet. Die Frequenz der Wechselspannung ist aber so hoch ( z.B.: 150 MHz ), daß sie während einer vollständigen Schwingung ( Dauer hier 1/150000000 s ) nur etwa 1,33 m vorankommt. Wenn man die Spannung zwischen Innen - und Außenleiter des Kabels auf diesem Wegstück überall gleichzeitig messen könnte und in einem 1,33 m langen Diagramm auftragen würde, ergäbe sich eine Sinuskurve. Diese bleibt aber nicht stehen, sondern läuft mit ca 200000 km/s zur Antenne. Dort verschwindet sie. Da der Sender ständig in Betrieb ist, ergibt sich auf dem gesamten Kabel eine sinusförmige Spannungsverteilung, welche mit 200000 km/s zur Antenne läuft, dort verschwindet, aber beim Sender stets neu erzeugt wird. Wenn man an mehreren Stellen des Kabels die Wechselspannung zwischen Innen - und Außenleiter mißt, erhält man mit einem gewöhnlichen Voltmeter überall der gleiche Wert. Verwendet man dagegen mehrere Oszilloskope mit gemeinsamer Horizontalablenkung, so kann man sehen, daß die Schwingung umso später dran ist, je weiter das Oszilloskop vom Sender entfernt steht. Wir nennen diese Erscheinung eine Wanderwelle. Die Bedingung für ihr Zustandekommen in reiner Form ist, daß das Kabel mit einem ohmschen Widerstand von genau dem richtigen Wert abgeschlossen wurde, welcher als der Wellenwiderstand Z des Kabels bezeichnet wird und nicht mit seinem Drahtwiderstand verwechselt werden darf. Dieser Abschlußwiderstand ist in den meisten Fällen eine richtig bemessene Antenne, welche sich für Wechselspannung der passenden Frequenz genau wie ein Kohlewiderstand verhält. Eine Groundplane mit Radials, die unter etwa 45 Grad nach unten geneigt sind, verhält sich auf ihrer Betriebsfrequenz wie ein 50 Ohm Widerstand. Welches ist nun der richtige Abschlußwiderstand für ein bestimmtes Kabel ? Bei einem Koaxialkabel sei der Außendurchmesser des Innenleiters d und der Innendurchmesser des Außenleiters D. Das Material dazwischen besitze die Dielektrizitätskonstante e ( bei Luft ist e = 1 ). Dann gilt: 138 D Z = -------- * log( - ) Ohm SQR( e ) d Bei einer Zweidrahtleitung mit Drahtdurchmesser d und Drahtabstand a - gemessen von Drahtmitte zu Drahtmitte - gilt: 276 2 * a Z = -------- * log( ----- ) Ohm SQR( e ) d Häufig sind Antennenzuleitungen nicht mit einem ohmschen Widerstand vom Wert ihres Wellenwiderstandes abgeschlossen. Im allgemeinen Fall wird der Abschluß des Kabels von einem komplexen Widerstand gebildet. Dieser läßt z.B. nicht wie ein 50 Ohm Widerstand bei 100 V einen Strom von 2 A fließen, der mit der Spannung in Phase ist, sondern irgendeinen Strom mit irgendeiner Phasenverschiebung zwischen -90 Grad und +90 Grad. In diesem Fall wird ein Teil der am Kabelende ankommenden Energie reflektiert, d.h. eine kleinere Welle läuft zum Sender zurück. An jedem Punkt des Kabels addieren sich nun die Spannungen der hinlaufenden und der reflektierten Welle zu der dort tatsächlich meßbaren Gesamtspannung. Diese Wechselspannung besitzt nun nicht mehr an jeder Stelle des Kabels denselben Wert, sondern es gibt Punkte minimaler und solche maximaler Spannung, deren Abstand ein Viertel einer Wellenlänge beträgt. Ist das Kabel am Ende offen oder kurzgeschlossen oder mit einem idealen Kondensator oder einer idealen Spule abgeschlossen, so ist die auftretende Minimalspannung sogar Null. In diesem Fall völliger Fehlanpassung wird keine Energie mehr durch das Kabel transportiert. Die Welle auf dem Kabel ist zwar noch vorhanden, aber sie bewegt sich nicht mehr, weil jetzt die Spannung der reflektierten Welle so groß ist wie die der hinlaufenden. Um den Grad der Fehlanpassung in einer Zahl angeben zu können, hat man das Stehwellenverhältnis ( Standing Wave Ratio = SWR ) definiert: Maximalwert der Wechselspannung zwischen Innen- u. Außenleiter SWR = -------------------------------------------------------------- Minimalwert der Wechselspannung zwischen Innen- u. Außenleiter Bei perfekter Anpassung sind beide Spannungswerte gleich und SWR = 1. Bei Fehlanpassung ist immer SWR > 1. Bei völliger Fehlanpassung ist das SWR unendlich. Das Programm RCL kann den Verlauf des SWR in Abhängigkeit von der Frequenz berechnen, für den Fall, daß ein Kabel vom Wellenwiderstand W mit einem Zweipol abgeschlossen ist. Dieser wird in bekannter Weise durch eine Befehlsfolge und durch Angabe seiner Bauteile beschrieben. Das Programm berechnet die komplexe Impedanz des Zweipols Z = ( R ; J ) für die jeweilige Frequenz und aus dieser das Stehwellenverhältnis : ( R - W ) * ( R - W ) + J * J 1 + SQR( ------------------------------- ) ( R + W ) * ( R + W ) + J * J SWR = ------------------------------------------ ( R - W ) * ( R - W ) + J * J 1 - SQR( ------------------------------- ) ( R + W ) * ( R + W ) + J * J Beispiele --------- 1. Man wähle folgende Einstellungen: f min = 1 Hz f max = 10 MHz Betrag / SWR max. = 3.0000 Wellenwiderstand 50 Ohm SWR darstellen lin Teilung der Frequenzachse log Als Zweipol für den Kabelabschluß beginnen wir mit einem Widerstand von 50 Ohm. Also in Dialogbox 2 eingeben: Befehle R R 0 50 Das Ergebnis ist eine Gerade bei SWR = 1. Nun ändern wir R 0 auf 100 Ohm und es ergibt sich SWR = 2 für alle Frequenzen. Mit R 0 = 25 Ohm ebenfalls. Nun sollte man noch Kondensator und Spule parallel schalten und mit den Werten experimentieren. Die Befehlsfolge lautet: R 0 C 0 par L 0 par 2. Aus dem Ordner BEISPIEL die Schaltung BANDP_1 laden. In der Befehlsfolge alle Befehle ab einschließlich 41 R 0 löschen. Damit haben wir ein L - C - Bandpaßfilter, das mit 50 Ohm abgeschlossen ist. Das Programm berechnet jetzt nur noch den komplexen Widerstand zwischen seinen Eingangsanschlüssen. Nun wieder SWR - Berechnung einstellen für den Frequenzbereich von 20 kHz bis 100 MHz. Mit Maus und Fadenkreuz kann man feststellen, daß das SWR im Bereich 3,2 MHz bis 30 MHz unter 1,5 bleibt. XI Anmerkungen zu den Beispielen ------------------------------------ ( Die Schaltbilder befinden sich in den mit S beginnenden Dateien. ) BANDP_1 Ein Bandpaß für den Kurzwellenbereich bis 30 MHz. Um die optimale Durchlaßkurve zu erreichen, muß er auf beiden Seiten mit dem richtigen Widerstand abgeschlossen werden. Am Ausgang ist das R 1 ( 50 Ohm ), der die angeschlossene Antenne darstellen soll. Am Eingang ist es R 0 ( 50 Ohm ), welcher für den Innenwiderstand des Senders steht. Senderendstufen haben allerdings einen viel kleineren Innenwiderstand. BANDP_2 Stammt aus der CQ DL 9/93 S. 603. Die Widerstände R 1 und R 2 in Serie zu den Spulen sollen deren sonst unendliche Güte verringern. Bei niedrigen Frequenzen sind diese Widerstände etwa gleich dem Drahtwiderstand der Spule. Bei HF muß man den Skineffekt berücksichtigen und höhere Werte nehmen. EINKREI1 Eingangskreis eines einfachen Empfängers. R 1 ist der Quell- widerstand der Antenne. Man beachte, daß hier eine Aufwärts- transformation stattfindet: Ua > Ue ! EINKREI2 Eingangskreis eines Empfängers. Verwendet einen kapazitiven Spannungsteiler. Auch hier ist Ua > Ue ! HOCHPASS Für Frequenzen oberhalb 3,5 MHz gegen Störungen durch Mittel- wellensender. Ausprobieren: Wie wirken sich Widerstände in Serie zu den Spulen aus ? HOCHVIER Vierfach R - C - Hochpaß. Flankensteilheit schließlich 80 dB pro Dekade. Man beachte, daß die Phasenverschiebung zwischen Ua und Ue bei mehrstufigen R - C - Filtern große Werte erreichen kann ! Bei einstufigen bleibt sie immer unter 90 Grad. KONDENSA Ein einzelner Kondensator. PARSKREI Wurde bereits weiter oben erläutert. QUARZF_1 Eines der beliebten Ladderfilter. Man beachte bei der Befehls- folge, daß die Impedanz des Quarzes nur einmal berechnet und gespeichert wird. Größere Kondensatoren verringern die Band- breite. Man kann auch mit der Quarzgüte experimentieren. Dazu einfach R 0 ändern ! QUARZF_2 Wie vor. RC_HOCH Einstufiger R - C - Hochpaß. Phasenverschiebung bleibt unter 90 Grad ! RC_TIEF Einstufiger R - C - Tiefpaß. Phasenverschiebung bleibt unter 90 Grad ! SERSKREI Serienschwingkreis mit Dämpfungswiderstand. Minimaler Gesamt- widerstand bei Resonanz ist R 0. SPULE Eine einzelne ideale Spule. TELEGRAF Sehr gutes Telegrafiefilter. R 1 ... R 4 sind DRahtwiderstände. TIEFPASS Gleiche Schaltung wie RC_TIEF, aber logarithmische Darstellung ist voreingestellt. TIEFP Tiefpaß mit Dämpfungspolen zur Flankenversteilerung. Es fehlen noch die Drahtwiderstände zu L 0 und L 1. Zu dieser Befehlsfolge gibt es mehrere Dateien mit Bauteilen: TIEFP_A.BAU, TIEFP_B.BAU und TIEFP_C.BAU. WIEN Spannungsteiler nach Wien. Wird als ein Zweig einer Wienbrücke hauptsächlich in Sinusgeneratoren verwendet. ZWEIKREI Wurde bereits weiter oben erklärt.